Forumules de Taylor

Bonsoir le théorème de Taylor : En analyse, le théorème de Taylor, du nom du mathématicien Brook Taylor qui l'établit en 1715, montre qu'une fonction plusieurs fois dérivable au voisinage d'un point peut être approximée par une fonction polynôme dont les coefficients dépendent uniquement des dérivées de la fonction en ce point. De manière plus précise, soit : I un intervalle de et , E un espace vectoriel normé de dimension finie, f une fonction de I dans E qui soit dérivable en a jusqu’à l’ordre n (un entier naturel). Alors, pour tout x dans I, l’expression ou son équivalent où définit un reste dont le comportement s’apparente au monôme (x − a)n. En présentant cette formule, Taylor propose une méthode de développement en série1, mais il se préoccupe peu de la nature du reste ; il faut attendre ses successeurs pour la caractériser rigoureusement. On désigne cependant par théorème de Taylor plusieurs résultats et expressions pour découlant du cadre ci-dessus, parfois renforcé par quelques hypothèses supplémentaires. Le théorème de Lagrange : En mathématiques, le théorème de Lagrange en théorie des groupes énonce un résultat élémentaire fournissant des informations combinatoires sur les groupes finis. En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, la méthode des multiplicateurs de Lagrange permet de trouver les points stationnaires (maximum, minimum...) d'une fonction dérivable d'une ou plusieurs variables, sous contraintes1. On cherche à trouver l'extremum, un minimum ou un maximum, d'une fonction φ de n variables à valeurs dans les nombres réels, ou encore d'un espace euclidien de dimension n, parmi les points respectant une contrainte, de type ψ(x) = 0 où ψ est une fonction du même ensemble de départ que φ. La fonction ψ est à valeurs dans un espace euclidien de dimension m. Elle peut encore être vue comme m fonctions à valeurs réelles, décrivant m contraintes. Si l'espace euclidien est de dimension 2 et si la fonction ψ est à valeurs dans R, correspondant à une contrainte mono-dimensionnelle, la situation s'illustre par une figure analogue à celle de droite. La question revient à rechercher le point situé le plus haut, c'est-à-dire le maximum de φ, dans l'ensemble des points rouges, c'est-à-dire ceux qui vérifient la contrainte. Le théorème clé se conçoit aisément dans l'exemple de dimension 2. Le point recherché est celui où la courbe rouge ne monte ni ne descend. En termes plus techniques, cela correspond à un point où la différentielle de ψ possède un noyau orthogonal au gradient de φ en ce point. Le multiplicateur de Lagrange est une méthode offrant une condition nécessaire. Les fonctions φ et ψ sont différentiables et leurs différentielles continues, on parle de fonction de classe C1. On considère λ un vecteur pris dans l'ensemble d'arrivée de ψ et la fonction L définie par : L'opérateur représenté par un point est le produit scalaire. Si x0 est une solution recherchée, il existe un vecteur λ0 tel que la fonction L admet une différentielle nulle au point (x0, λ0). Les coordonnées du vecteur λ0 sont appelées multiplicateurs de Lagrange. Cette technique permet de passer d'une question d'optimisation sous contrainte à une optimisation sans contrainte, celle de la fonction L, dans un espace de dimension n + m. La méthode se généralise aux espaces fonctionnels. Un exemple est donnée par la question de la chaînette, qui revient à rechercher la position que prend au repos, une chaînette attachée à ses deux extrémités. L'optimisation correspond à la position offrant un potentiel minimal, la contrainte est donnée par la position des extrémités et la longueur de la chaînette, supposée fixe. Cette méthode permet de trouver des plus courts chemins sous contrainte, ou encore des géodésiques. Le principe de Fermat ou celui de moindre action permet de résoudre de nombreuses questions à l'aide de cette méthode. Hugh Everett généralise la méthode aux fonctions non-dérivables, souvent choisies convexes. Pour une résolution effective, il devient nécessaire de disposer d'un algorithme déterminant l'optimum (ou les optima) d'une fonction. Dans le cas non dérivable, on utilise souvent une heuristique adéquate. Le théoreme de mac laurin : Les séries de Taylor et de MacLaurin constituent un outil pratique très puissant pour simplifier des modèles théoriques ou des calculs informatiques. Elles sont utilisées énormément dans tous les domaines de la physique mais on les retrouve aussi dans l'industrie dans couramment en ingénierie (plans d'expérience, méthodes numériques, gestion de la qualité), statistiques (approximations d'intégrales), finance (processus stochastiques), analyse complexe... Nous conseillons donc vivement au lecteur de bien lire les développements qui vont suivre. Soit un polynôme (à une variable): (11.121) Nous avons trivialement pour ce dernier: (11.122) Soit maintenant la dérivée du polynôme P(x) : (11.123) donc: (11.124) et ainsi de suite avec P''(x),P'''(x),... tel que: (11.125) Il s'ensuit que: (11.126) Donc finalement notre polynôme peut s'écrire: (11.127) relation que nous appelons "série de MacLaurin limitée" ou tout simplement "série de MacLaurin". En appliquant maintenant le même raisonnement mais en centrant le polynôme sur la valeur , nous avons: (11.128) et ainsi le développement précédent devient: (11.129) qui n'est d'autre que l'expression générale d'un polynôme exprimé sous une forme dite de "série de Taylor limitée". Cette fonction peut être assimilée à un polynôme tant que n est fini. Mais si n est infini, comme nous le verrons plus loin, cette série converge vers la fonction dont nous cherchons la représentation sous forme de somme de termes. Ainsi, certaines fonctions f(x) pouvant être approchés par un polynôme P(x) (une somme de puissances autrement dit...) centré sur la valeur peuvent êtres exprimées sous la forme: (11.130) Par contre cette dernière relation n'est pas juste pour toutes les fonctions ne pouvant pas s'exprimer sous forme de polynômes. Dès lors nous disons que la série n'est pas convergente pour ces dernières. Nous en verrons un exemple plus bas. La dernière relation s'écrit aussi de manière plus conventionnelle... : (11.131) Revenons brièvement à l'approximation de f(x) proche et centrée en : (11.132) Certaines personnes n'aiment pas utiliser cette formulation car on risque d'oublier que l'approximation pour quelques termes n'est bonne tant que l'on ne s'éloigne pas trop de avec x. Raisons pour laquelle il arrive souvent que nous posions: (11.133) avec fixé et h variable mais petit (!) et dès lors il vient alors une forme d'écriture courante des séries de Taylor: (11.134) Voyons un exemple d'application avec une série de MacLauin (avec étant nul) de la fonction sin(x) et Maple: >p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n); >p11 := taylor(sin(x),x=0,12); >p11 := convert(p11,polynom); >with(plots): >tays:= plots[display](sinplot): for i from 1 by 2 to 11 do tpl := convert(taylor(sin(x), x=0,i),polynom): tays := tays,plots[display]([sinplot,plot(tpl,x=-Pi..2*Pi,y=-2..2, color=black,title=convert(tpl,string))]) od: >plots[display]([tays],view=[-Pi..2*Pi,-2..2]); (11.135) Nous voyons donc bien dans cet exemple que la série de MacLaurin ne permet que d'approcher une fonction en un point avec un nombre limités de points. Mais plus nous prenons de termes (mettre 100 termes dans l'exemples précédent) plus la validité est grande sur tout le domaine de définition de la fonction. Au fait il est possible de démontrer que la fonction sin(x) est exactement exprimable en série de MacLaurin lorsque le nombre de termes est infini. Nous disons alors que son "reste" est nul. Par contre ceci n'est pas vrai pour toutes les fonctions. Par exemple: >p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n); >p10 := taylor(1/(1-x^2),x=0,10); >p10 := convert(p10,polynom); >with(plots): >tays:= plots[display](xplot): for i from 1 by 2 to 10 do tpl := convert(taylor(1/(1-x^2), x=0,i),polynom): tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=-2..2,y=-2..2, color=black,title=convert(tpl,string))]) od: >plots[display]([tays],view=[-2..2,-2..2]); (11.136) Nous voyons bien ci-dessus que peu importe le nombre de termes que nous prenons, la série de MacLaurin converge seulement dans un domaine de définition compris entre ]-1,1[. Cette intervalle est appelé le "rayon de convergence" et sa détermination (celle des singularités) est un point crucial dans de nombreux domaines de l'ingénierie, de la physique et de l'analyse. Nous y reviendrons plus en détails dans le chapitre d'Analyse Complexe. Par contre nous pouvons décaler la série de MacLaurin de la fonction précédente afin d'approcher la fonction avec une série de Taylor en un autre point non singulier comme par exemple en valant 2: >p[n](x) = sum((D@@i)(f)(a)/i!*(x-a)^i,i=0..n); >p10 := taylor(1/(1-x^2),x=2,10); >p10 := convert(p10,polynom); >with(plots): >tays:= plots[display](xplot): for i from 1 by 2 to 10 do tpl := convert(taylor(1/(1-x^2), x=2,i),polynom): tays := tays,plots[display]([xplot,plot(tpl,x=0..5,y=-2..2, color=black,title=convert(tpl,string))]) od: >plots[display]([tays],view=[-0..5,-2..2]); (11.137) Nous étudierons une généralisation au plan complexe des séries de Talyor précédentes dans le chapitre d'Analyse Complexe pour obtenir un résultat très puissant permettant aux physiciens de calculer des intégrales curvilignes compliquées. SÉRIES DE TAYLOR D'UNE FONCTION A 2 VARIABLES Nous allons voir ici comment approcher une fonction f(x, y) de deux variables réelles en une somme de puissances (série de Taylor). Ce type d'approximation est très utilisé dans de nombreux domaines de l'ingénierie (cf. chapitre de Génie Industriel). Nous cherchons donc une approximation de f(x, y) au point . Pour cela, posons (rien ne nous interdit à priori de la faire) que: et (11.138) Nous avons alors: (11.139) La valeur de (l'astuce est là!): (11.140) peut être approchée en utilisant son expression en série de Taylor autour de la valeur 0 tel que: (11.141) Or, nous avons: (11.142) et: (11.143) Selon le théorème de Schwarz (cf. chapitre de Calcul Intégral Et Différentiel): (11.144) Nous avons alors: (11.145) et on démontre par récurrence que: (11.146) Nous avons alors finalement: (11.147) ou sous une autre forme équivalente: (11.148) RESTE DE LAGRANGE Il peut y avoir un intérêt dans certaines applications numériques (cf. chapitre de Méthodes Numériques) à connaître l'erreur d'approximation du polynôme par rapport à la fonction . Définissons pour cela un "reste" , tel que: (11.149) La fonction est appelée "reste de Lagrange". Considérons maintenant une fonction f(x) qui est fois dérivable sur un intervalle qui contient . Pour une valeur x de l'intervalle, différente de , nous nous proposons de démontrer qu'il existe un nombre z situé entre et x tel que: (11.150) Démonstration: Soit une fonction g(t) une fonction définie par la différence d'une fonction f(x) supposé connue et une approximation de Taylor de cette même fonction: (11.151) avec bien sûr: (11.152) Nous voyons que g(t) s'annule bien pour la valeur . Dérivons maintenant g(t) par rapport à t, nous trouvons: (11.153) Après simplification: (11.154) Selon le théorème de Rolle (cf. chapitre de Calcul Différentiel Et Intégral), il existe une valeur pour lequel la dérivée s'annule. Donc: (11.155) Nous pouvons simplifier l'équation par : (11.156) ce qui s'écrit aussi: (11.157) et nous trouvons donc pour maximum de : (11.158) C.Q.F.D. Nous voyons que plus le polynôme est de degré élevé, plus il approxime la fonction f(x) avec exactitude. Que se passe-t-il lorsque ? (11.159) Supposons que f(x) admette des dérivées de tout ordre (ce que nous notons) pour toutes les valeurs d'un intervalle quelconque contenant et soit le reste de Lagrange de f(x) en . Si, quel que soit x dans l'intervalle: (11.160) alors f(x) est exactement représentée par P(x) sur l'intervalle. Démonstration: Elle découle simplement de l'expression de lorsque . Effectivement, si nous prenons une infinité de termes pour , la correspondance avec la fonction approchée est parfaite et donc le reste est nul. C.Q.F.D. Le polynôme: (11.161) est appelé "polynôme de Taylor" ou "série de Taylor". Si , il est appelé "polynôme de MacLaurin" ou "série de MacLaurin". En esperant que cela puisse vous aidez...Bonne chance

Merci énormément ... mais c'est trop comme informations ... c'est juste pour 1ère année tranc-commun ... et c'est au but de calcule de limites ! ... j'aimerai bien si vous avez des documents à propos de ça pour les mettre dans mon site www.fenec.tk

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