Perimetre d un triangle rectangle

Le périmètre d'un triangle rectangle et même sa surface ne peuvent être fonction seulement de la longueur de l'hypothénuse. Un angle droit se construit avec la règle et le compas en prenant un diamètre pour hypoténuse et un point quelconque du cercle comme sommet de l'angle droit Soit h la longueur de l'hypothénuse (égale au diamètre), a et b la longueur des côtés de l'angle droit, le théoreme de pythagore dit h² = a² + b² Le périmètre vaut donc a + b + h Si on fait varier le sommet de l'angle droit sur le cercle on voit que a et b changent alors que h reste fixe. Pour que le périmètre reste inchangé il faudrait que toute variation x de a entraine une variation inverse -x de b. Le théorème de pythagore donnerait pour ce nouveau triangle rectangle : (a+x)² + (b-x)² = h² a²+2ax+x² + b²-2bx+x2 =h² a²+b² +2(a-b)x+x²= h² comme au départ a²+b² = h² il faut que 2(a-b)x+x² =0 ce qui n'est possible que dans 2 cas pour x=0 ou x=-2(a-b) Conclusion : Dans le cas général le périmètre ne peut pas être égal au périmètre de départ. Quant à la surface elle est par définition égale à S = ab / 2 (cas particulier de hauteur x Base divisé par 2 ou surface du demi rectangle de diagonale c et côtés a et b) En partant de l'identité remarquable (a+b)² = a² + 2ab + b² on voit que 2 ab = (a+b)² - (a² +b²) = (a+b)² - h² S= ab / 2 = [ (a+b)² - h2] / 4 Quand on fait varier le sommet O sur le cercle il faudrait que la somme a+b reste inchangée, pour que la surface este inchangé. On a vu ci-dessus pour le périmètre que ce n'était pas possible dans le cas général