Calculer une limite à la réponse ouvetre

En utilisante x^(1/2) pour racine x et x^(-1/2) pour (1/ racine x.) j'ai (x-1) /(x-x^(1/2)) je met en facteur racine de x au dénominateur : (x-1) / [x^(1/2) (x^(1/2) -1)] je multiplie en haut et en bas par ((x^(1/2)+1) et j'applique (a-b)(a+b) = (a²-b²) au dénominateur (x-1)(x^(1/2)+1) / [ (x^(1/2)( (x-1) ] Si x# 1, (x-1) au numérateur et au dénominateur se simplifient. Il reste [x^(1/2)+1)]/x^(1/2) si x#0 s'écrit 1 + 1/x^(1/2) = 1 + x^(-1/2) quand x -> 1, limite(x-1)/(x-racine x) = limite 1+ x^(-1/2) -> 2 1 sur racine de 1 faisant 1.

Merci de votre réponse mais je n'ai pas compris: que signifie ^ et si c'est la puissance je ne connais pas une puissance 1/2? merci

En gardant vos notations : x = (racine x)² Je met en facteur (racine x) au dénominateur : (x-1) / [(racine x) (racine x -1)] Comme (1+racine x)(1-racine x) = (1-x) (1+racine x)(-1+racine x)=(x-1) je multiplie en haut et en bas par (racine x+1) et j'applique (a-b)(a+b) = (a²-b²) au dénominateur pour faire apparaitre (x-1) (x-1)(racine x+1) / [ (racine x) (x-1) ] Si x# 1 division possible du numérateur par (x-1), (x-1) peut être simplifié en haut et en bas, il reste (racine x+1) / (racine x) Si x#0, division possible par racine x non nul d'où (racine x +1)/(racine x) = 1 + 1/(racine x) quand x -> 1, limite(x-1)/(x-racine x) = limite 1+ 1/(racine x) -> 2 1 sur racine de 1 faisant 1. D'autres remrques ? ============================================ Remarque hors cours : Les puissances 1/n sont des racines n-ième d'un nombre On généralise ainsi les règles a^n.a^m = a^(m+n) etc.. qui s'appiquent avec n entier relatif Rappel : Les puissances négatives -n sont des inverses de puissance n-ième donc 1/ nombre à puissance n

Merci beaucoup pour votre réponse que je comprend mieux ainsi mais (je suis désolé de profiter de votre gentillesse et de votre savoir) je ne comprends pas pour quoi au début on peut factoriser le dénominateur par racine x étant donné que quand je la redéveloppe j'obtient: (x-1)/((racine x)²- (racine x)) alors qu'au début il n'y avait pas de soustraction au dénominateur. je vous remercie encore une fois pour vos explications. je pense que pour le reste j'ai compris ( je suis en train de le retravailler).

Votre énoncé (x-1)/(x-racine x) Il y a bien un - entre x et racine de x quand vous redéveloppez après avoir factorisé racine de x vous écrivez (x-1)/((racine x)²- (racine x)) c'est bon, puisque (racine x)² c'est x, on retouve bien l'énoncé. J'attends vos autres remarques ou une autre solution qui vous paraitrait plus simple.

Merci, en effet je me suis trompé sur ma feuille mais l'énoncé est bien juste , maintenant j'ai bien compris le raisonnement. je vous remercie infiniment pour vos explications. merci beaucoup

Très bien. A la prochaine Pour résumer la stratégie utilisée (et qui peut être réutilisée) ; Dans un tel problème, si on peut lever l' indéterminnation, quand on tend vers une limite qui pose problème, c'est que d'abord on peut factoriser le numérateur puis factoriser le dénominateur, qu'ensuite un des facteurs du numérateur qui pose problème peut être divisé par un facteur du dénominateur. D'où la première idée de mettre en facteur racine de x. Ensuite pour continuer dans cette voie de recherche de diviseur, qui n'est peut être pas du niveau de votre classe mais que vous devriez pouvoir comprendre car c'est une simple généralisation de ce que vous connaissez pour les nombres, j'aurais pu essayer de diviser directement (x-1) par (racine x -1) en disant comme on ferait pour des nombre que le quotient de cette division est (racine x +1) car identité remarquable a²-b² = (a+b)(a-b) permet d'écrire (x-1)=(racine x +1)(racine x - 1) et que je peut lire cette égalité commme (racine x - 1) est le quotient exact de (x-1) par (racine x +1) ou (racine x+1) est le quotient exact de (x-1) par (racine x - 1) J'aurais ainsi évité de multiplier numérateur et dénominateur par (racine x + 1) qui peut sembler ne pas sauter aux yeux mais qui permet de répondre au problème de façon simple sans parler de division de (1-x) par (racine x -1). Voilà si vous avez bien réfléchi et compris cette dernière discussion, c'est que l'abstraction est à votre portée facilement. Vous avez la capacité pour être très bon en math. Sinon, comme vous avez déjà compris avec les explications précédentes, vous assmuez très bien à votre niveau. Au plaisir.