Chiffre des unités d'une puissance

Il faut se concentrer uniquement sur le chiffre des unité : 7^1=7 7^2=49 le chiffre des unités est le 9 en effet. 7^3=7^2*7=49*7 Quand on effectue la multiplication on fait en premier 9*7=63 ce qui va nous donner le chiffre des unités 3 de 7^3. Inutile de regarder le 4 de 49. Pour le suivant, c'est la même chose : 7^4=7^3*7 Le chiffre des unités de 7^3 est 3, donc en effectuant la multiplication, on obtiendra le chiffre des unités de 7^4 en calculant 7*3=21. Le chiffre des unités sera donc 1. 7^5=7^4*7 Le chiffre des unités de 7^4 est 1, 7*1=7, donc le chiffre des unités de 7^5 est 7. C'est le même que 7^1 Ensuite, il suffit de remarquer que les chiffres des unités des puissances suivantes sont les mêmes que les précédentes : 7^6 aura le même chiffre des unités que 7^2 car 7^5 a le même chiffre des unités que 7^1... Cela nous donne en résumé : 7^1 -> 7 7^2 -> 9 7^3 -> 3 7^4 -> 1 7^5 -> 7 7^6 -> 9 7^7 -> 3 7^8 -> 1 On voit apparaître un cycle de 4 chiffres différents 7 - 9 - 3 - 1 qui se répétent sans arrêt. Il suffit donc de regarder le reste de la division euclidienne de 100 par 4 pour connaitre le chiffre des unités... ici c'est 0 (comme 4, 8, 12,...) donc 7^100 aura le même chiffre des unités que 7^4, 7^8, 7^12... c'est à dire 1 ! Pour 3, on procède de la même façon : 3^1 -> 3 3^2 -> 9 3^3 -> 7 3^4 -> 1 3^5 -> 3 3^6 -> 9 3^7 -> 7 3^8 -> 1 Là aussi le cycle est de 4 : 3 - 9 - 7 - 1. On regarde le reste de 101 divisé par 4, c'est 1 tout comme 1, 5, 9... Donc le chiffre des unités de 3^101 est le même que 3^1, 3^5, 3^9,... c'est-à-dire 3 !