Licenciement de la nounou - motif faute grave ?!

Bonjour, Depuis l'embauche de cette nounou à domicile, certaines choses ont disparues :manteau cuir, porte monaie, jeux enfants... nous venons de découvrir qu'une forte somme d'argent à disparue du bureau dans lequel elle était rangée. Le seul moment où ce vol a pu se produire est dimanche lors de notre sortie. La seule personne possedant notre clé est la nounou. Cette derniere a par ailleurs appelé 10 fois avant de sonner chez moi, suprise de m'y trouver, sous un prétexte totalement futile. Lors de notre absence elle m'a rappelé sur mon portable en insistant pour savoir si j'étais toujours en dehors de mon domicile. En rentrant chez moi la porten'était plus verrouillée. Compte tenu de ces éléments, je n'ai aucun doute quand à sa culpabilité. N'ayant plus confiance, je souhaite mettre fin à son CDI. Dois-je la licencier pour faute grave et la faute grave peut elle être "prouvée par déduction" ? est-ce valable devant un prudhomme ? ou dois je invoquer un changement de mode de garde pour un licenciement simple mais qui m'imposerait de payer encore 500 euros à cette femme qui m'a volé autant déjà. Je précise que je ne souhaite plus embaucher de nounou pour garder mes enfants compte tenu de l'expérience. Que dois-je faire pour me prémunir d'une attaque certaine aux prudhommes. Merci.