Préavis payé non effectué et nouveau CDI

Bonjour, Après de multiples recherches, je m'en remets à vous. Je suis démissionnaire d'un CDI pour un autre CDI. La passation des dossiers a déjà été effectuée et un départ avait été arrêté à la mi juillet (7 semaines avant la fin du préavis) par ma direction. Je n'ai formulé aucune demande de départ anticipé (écrite ou orale) Malgré tout la LRAR, reçue hier et adressée par mon directeur Général, m'indique "qu'il acceptait une fin de contrat au 15/07... "et "qu'en conséquence " aucune indemnité compensatrice de préavis ne sera due". Cequi implique perte de ces 7 semaine de salaires et des primes mensuelles et annuelles ! Dans le cas où je demanderais à faire un préavis payé non effectué ( C'est à dire que je fais partie des effectifs de l'entreprise jusqu'à la fin du préavis) qui me permettrait de récupérer une partie de fruit de mon travail de l'année (Primes, challenge...), est-il possible de démarrer mon nouveau CDI durant cette période !? Merci de votre retour car cela m'interpelle !