Prouver que cosinus de 36 = nombre d'or/2

En calculant tout simplement cos36° = 0,80901699437494742410229341718282 le nombre d'or est égal à (1 + √5) / 2 = (1 + 2,2360679774997896964091736687313) / 2 = 1,6180339887498948482045868343656 sa moitié 1,6180339887498948482045868343656 : 2 = 0,80901699437494742410229341718282 c'est bien égal jusqu'à la 32è décimale ou alors (suivant votre classe) on considère un triangle ABC rectangle en B d'hypoténuse BC = 2 et dont l'angle BÂC mesure 36° cos BÂC = côté adjacent / hypoténuse = AB / BC soit AB = BC x cosBÂC = 2 x cos BÂC = 2 x cos36° on trouve AB égal au nombre d'or

Bonjour, 36° = (pi/5) radian. donc, cos pi = cos (5pi/5) ; donc, - 1 = cos (5pi/5). D'autre part, cos5a = cos(3a + 2a) = cos3a.cos2a - sin3a.sin2a = (4cos³a - 3cosa)(2cos²a - 1) - (3sina - 4sin³a).2sina.cosa = 8(cosa)^5 - 4cos³a - 6cos³a + 3cosa - 6sin²a.cosa + 8(sina)^4 . cosa = 8(cosa)^5 - 10cos³a + 3cosa - 6(1 - cos²a).cosa + 8(1 - cos²a)².cosa = 8(cosa)^5 - 10cos³a + 3cosa - 6cosa + 6cos³a + 8(1 - 2cos²a + (cosa)^4).cosa = 8(cosa)^5 - 4cos³a - 3cosa + 8cosa - 16cos³a + 8(cosa)^5 = 16(cosa)^5 - 20cos³a + 5cosa ; donc il faut résoudre l'équation : - 1 = 16 (cos pi/5)^5 - 20 cos³ (pi/5) + 5 cos (pi/5) ; posons cos (pi/5) = x ; et ramenons tout dans un même membre ; il vient : 16x^5 - 20x³ + 5x + 1 = 0 ; factorisons partiellement cette équation : (4x² - 2x - 1)²(x + 1) = 0 ; Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul. Je vous laisse terminer ; et n'oubliez pas que puisque 36° se trouve dans le premier quadrant, son cosinus, donc x, doit être compris entre ... et ... ; donc une ou plusieurs valeur(s) de " x " seront peut-être à éliminer ; vous devez effectivement trouver " x = [1 + (racine carrée de 5)] / 4 ".