Résoudre une équation (Type terminale)

Puisque cette équation est transcendante, il est effectivement impossible de la résoudre par la méthode traditionnelle (qui consiste à isoler les termes en " x " dans un membre, et les constantes dans l'autre membre). Toutefois, une première remarque intéressante s'impose : " x " doit être strictement POSITIF, sinon il serait impossible d'en calculer le logarithme. Cela dit, on peut calculer sa valeur : - soit par tâtonnements, donc en essayant des valeurs pour " x " dans l'expression à gauche et en regardant lesquelles permettent de se rapprocher le plus de " 0 ". Mais les professeurs de mathématiques désapprouvent généralement cette méthode, car si l'on tâtonne, on peut parfois chercher longtemps ! - soit en procédant par ITÉRATIONS. Ici, la technique consiste à isoler l'un des " x " ; par exemple on en déduit que " x² = 2 - ln(x) " donc que " x " = ± racine carrée de [ 2 - ln (x) ] ou plutôt : " x " = + racine carrée de [ 2 - ln (x) ] puisque " x " doit être positif. Certes, " x " se trouve aussi dans le membre de droite. Mais ce n'est pas grave ! Choisissons une première valeur pour " x "... puisque je n'ai pas beaucoup d'imagination, je choisirai " 1 " ; et ° remplaçons " x " par " 1 " dans le membre de droite ; on obtient racine carrée de 2, donc environ 1,414 ; ° remplaçons maintenant " x " par " 1,414..." dans le membre de droite ; on obtient 1,285 environ ; ° remplaçons " x " par " 1,285 " dans le membre de droite ; etc. Théoriquement, il faut recommencer l'opération un nombre infini de fois ; mais en pratique, heureusement, on constate qu'il y a une stabilisation progressive près d'une certaine valeur. En langage mathématique, on appelle cela une CONVERGENCE. Cette valeur est environ " 1,314096804 ". C'est précisément cette valeur de " x " qui vérifie l'équation !