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Comment factoriser .. ?

Question anonyme
Dernière réponse le 02/10/2009 à 21h02
[ ! ]
Je n'arrive pas a factoriser ceci :
g(x) = (x+1)(3x+2)-(2-2x²)(3x+2)
Pouvez vs m'aider svp ?
Répondre
2 réponses pour « 
Comment factoriser .. ?
 »
Réponse de Jean R.
Le 02/10/2009 à 19h01
[ ! ]
Commencez par mettre (3x + 2) en évidence.
Référence(s) :
Souvenirs d'école
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Réponse de Michel B.
Le 02/10/2009 à 21h02
[ ! ]
Il est préférable de ne pas se lancer dans des calculs et de faire preuve d'un peut d'astuce

L'astuce la plus évidente pourrait être de commencer à factoriser (3x+2), je vous laisse poursuivre cette piste.

Je vais vous proposer une autre piste qui marcherait aussi si (3x+2) n'était pas un facteur commun !

L'astuce est la suivante :

Si j'ai un monome (ax+b) qui se met en facteur dans g(x) alors g(x) devient nul quand ax+b =0 c'est à dire x=-b/a (le produit de 2 termes dont l'un est nul donne toujours zero)

Je vais utiliser cette propriété pour sélectionner un monome de g(x) tel que donné et voir s'il peut être candidat à la factorisation.

Prenons (x+1), nul si x=-1 : est ce que cette valeur annule le reste de l'expression c'est à dire -(2-2x²)(3x+2) ?

La réponse est oui car dans ce produit (2-2x²) est nul
si x=-1.

Donc (x+1) est bien un facteur commun à retenir.

Reste qu'à faire apparaître (x+1) dans
-(2-2x²)(3x+2) en sortant 2 de la 1e parenthèse
=-2(1-x²)(3x+2) en repèrant l'identité remarquable a²-b²
=-2(1-x)(1+x)(3x+2) ça y est j'ai fait apparaitre (x+1)

Je peux donc réécrire
g(x) = (x+1) [(3x+2)-2(1-x)(3x+2)] on peut factoriser (3x+2)
g(x) = (x+1)(3x+2)(1 - 2(1-x)] et enfin
g(x) = (x+1)(3x+2)(2x-1)
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