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Fonction polynôme et discriminant

Question anonyme le 11/10/2010 à 18h20
Dernière réponse le 11/10/2010 à 23h11
[ ! ]
Bonjour, j'ai un exercice que je n'arrive pas à faire, si quelqu'un pouvait m'aider ça serait vraiment sympa, l'énoncé est: Soit P(x)=x^4+1 1) Justifier que le polynôme P n'a pas de racine réelle. 2) En écrivant P(x) sous la forme(x^4+2x²+1)-2x², factoriser P(x) en deux facteurs du second degré. En déduire, sans aucun autre calcul, que les équations x²-V2 x+1=0 et x²+V2 x+1=0 n'ont pas de solution dans R. Merci d'avance!
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1 réponse pour « 
fonction polynôme et discriminant
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Réponse de Tycho
Le 11/10/2010 é 23h11
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1) Chercher la racine de P, c'est chercher la valeur de "x" pour laquelle P(x)=0. P(x)=0 équivaut à x^4+1=0, donc x^4=-1 Or x^4=(x²)² est toujours positif. Il n'existe pas de valeur de x parmi les réels, telle que P(x)=0. 2) P(x)=x^4+1=(x^4+2x²+1)-2x² (x^4+2x²+1) est une identité remarquable, de la forme (a²+2ab+b²)=(a+b)², d'où: (x^4+2x²+1)=(x²+1)² On a alors: P(x)=(x²+1)²-2x² que l'on peut aussi écrire: (x²+1)²-(x√2)², qui est une autre identité remarquable, de la forme a²-b²=(a+b)(a-b). Vous en déduisez la factorisation en facteurs du second degré... 3) Une fois la factorisation effectuée, ayant précédemment montré que P(x) n'a pas de racine réelle, vous en déduirez sans problème que les 2 équations n'ont pas de solution réelle.
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fonction polynôme et discriminant
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