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Trinôme et réciproque

Question anonyme le 16/10/2010 à 22h24
Dernière réponse le 17/10/2010 à 01h06
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Bonjour, j'ai un exercice que je n'arrive pas à faire, si quelqu'un pouvait m'expliquer ça serait vraiment sympa, voici l'énoncé: a et c désignent des réels non nuls. 1. Montrer que si a et c sont de signes opposés, le trinôme ax²+bx+c admet deux racines distinctes 2. La réciproque est-elle vraie? Merci d'avance!
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2 réponses pour « 
trinôme et réciproque
 »
Réponse de Jean R.
Le 17/10/2010 é 00h59
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Je suppose que " b " aussi est réel ; et qu'on ne s'intéresse qu'aux racines réelles. Alors, sachant que dans la formule, on doit calculer la racine carrée de " b² - 4ac ", si " a " et " c " sont de signes différents, on peut être sûr que b² - 4ac est (strictement) positif puisque d'une part, on a " b² " : le carré d'un nombre réel est toujours positif ; et que d'autre part, le produit de deux nombres négatifs (ici " a " et " c ") donne un nombre positif ; la somme de deux nombres positifs donne donc un résultat lui aussi positif ; donc on peut en calculer la racine carrée arithmétique sans problème ; et sachant que devant le radical de la racine carrée, on a les 2 signes " ± ", on a toutes les chances d'avoir 2 racines. Mais la réciproque n'est pas vraie ; car pour avoir " b² - 4ac " positif, on peut très bien avoir " a " et " c " de même signe ; il faut et il suffit alors que " b " soit suffisamment grand, c'est-à-dire tel que b² > 4ac .
Référence(s) :
souvenirs d'école
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Réponse de Jean R.
Le 17/10/2010 é 01h06
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Correctif : les deux nombres négatifs dont je parle sont bien sûr non pas " a " et " c " mais " - 4 " et " ac ".
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