3 équations à 3 inconnues

Je crois qu'il est impossible de répondre à votre question telle que vous la posez. En principe, le problème est simple si l'on connaît les valeurs de tous les paramètres : géométriquement, il s'agit ni plus ni moins de déterminer les coordonnées (abscisses, ordonnées, cotes) du ou des points d'intersection de 3 QUADRIQUES (surfaces du second degré). Il est alors aisé d'isoler une des variables (x, y ou z) par rapport aux 2 autres, puis d'injecter son expression dans les 2 autres équations ; puis d'isoler une deuxième variable en l'exprimant par rapport à la troisième ; de substituer cette expression dans la troisième équation ; de résoudre une équation du troisième degré par rapport à la dernière variable ; enfin, d'en déduire la ou les valeur(s) de la deuxième, puis de la première variable. Mais avec des paramètres, non seulement les équations sont incroyablement lourdes (puisqu'on ne peut pas regrouper les valeurs en une seule lors des additions ou des soustractions), mais en plus, suivant les valeurs que l'on donne à certains paramètres (par exemple, " b " et " f " peuvent-ils être nuls ou non ?), les 3 formules que vous cherchez changent considérablement ! Prenons une comparaison : dans " ax² + bx + c = 0 ", vous savez sûrement que les racines sont : x = [- b ± racine carrée de (b² - 4ac)] / 2a si " a " est différent de " 0 ". Mais si " a " = 0, alors x = - c / b (si " b " est différent de " 0 ") ; l'expression est donc assez différente. Bien sûr, vous pourriez me rétorquer que l'expression où " a " est différent de " 0 " reste valable dans le cas où " a " est nul, puisqu'il suffit de calculer la limite pour " a " tendant vers " 0 " (par la règle de l'Hospital) pour trouver " x = -c / b " ; soit ; mais pour en revenir à votre énoncé, on ne voit vraiment pas l'intérêt d'avoir une expression d'une très grande lourdeur, puis de passer son temps à calculer des limites pour des cas particuliers ! Dans ce cas-là, il est beaucoup plus simple et plus réaliste de n'établir aucune formule générale et de ne faire des calculs que lorsque l'on connaît les valeurs de TOUS les paramètres. (Notons enfin que si vous voulez qu'on vous aide davantage, il serait utile que vous précisiez quelle application vous voulez faire de ce système d'équations, car on ne peut pas totalement exclure que vous sous soyez trompé dans la mise en équations).