Périmètre à partir de l'aire

Calculez d'abord le rayon R du cercle : sachant que l'aire S = pi x R², on en déduit que R = racine carrée de (S/pi) donc R = racine carrée de (113,1cm²/ 3,1415926...) donc R = 6 cm ; d'autre part, si l'on décompose l'octogone en 8 triangles isocèles de même aire chacun, leur angle au centre du cercle vaut 360°/8 donc 45°; sachant aussi que, dans n'importe quel triangle, la somme des 3 angles intérieurs = 180 degrés, on en déduit que chacun des 2 autres angles = (180° - 45°) / 2 = 67,5°. Calculons maintenant la longueur de la demi-base de chacun des triangles : elle vaut " rayon du cercle x cosinus de 67,5° " ; or le cosinus de 67,5° = 0,3826... (voir tables ou utiliser une calculatrice) donc une demi-base a une longueur de 2,296... cm ; donc une base a une longueur = 2 x 2,296... cm = 4,592... cm donc le périmètre de l'octogone = 8 x 4,592... cm = 36,737...cm.

Lorsque vous dites que la demi-base égale à "rayon du disque x" x cosinus de 67,5, c'est comme si l'octogone était inscrit dans le cercle. Toutefois, le disque et l'octogone doivent avoir la même aire pour être équivalent, alors l'octogone ne peut pas être inscrit... Est-ce qu'il y a une autre façon de faire ?

Désolé, j'avais mal compris l'énoncé. Néanmoins, je maintiens que les 8 triangles isocèles ont pour angles intérieurs 45°pour l'angle central, et 67,5° pour chacun des 2 autres angles. Alors, si l'on veut que le disque et l'octogone aient même aire : décomposons donc l'octogone en ses 8 triangles isocèles : sachant que l'aire d'un triangle = base x hauteur / 2 , on a pour l'octogone 8 x base x hauteur / 2 = 4 x base x hauteur. Appelons la base " B " et la hauteur " h " : on a " 4 B x h = 113,1 cm² ". On a donc 2 inconnues, mais la hauteur dépend de " B " : en effet, dans tout triangle, on a la relation aux sinus : A / sina = B / sinb = C / sin c (les lettres minuscules symbolisent les angles opposés aux côtés désignés par les majuscules). Donc B / sin 45° = h / sin 67,5°. Or sin 45° = (racine carrée de 2) / 2 = 0,7071... et sin 67,5° = 0,9238... donc h = 0,9238...x 1,4142... x B donc 4 B² x 0,9238... x 1,4142... = 113,1 cm² ; on en déduit que B = 4,652 cm environ. Donc le périmètre de l'octogone = 8 x B = 37,2 cm environ.