Pouvez vous m aider SVP

1. Transformons : ( …)² = (…)² ; (…)²- (…)²= 0 ; on a une différence de 2 carrés qui se factorise selon : a²-b²= (a-b)(a+b) ; cela donne : (x²+7x+15-x²-5x-3)( x²+7x+15+x²+5x+3) = 0 ; après simplification on a un produit de 2 facteurs qui doit être nul ; pour cela il suffit qu’un des deux facteurs soit nul ; 2(x+6)2(x²+6x+9) = 0 ; 4(x+6)(x+3)² = 0 ; donc soit x+6 = 0 ou x+3 = 0 ; ce qui donne x = -6 ou x = -3 2. Transformons ( …)² <= (…)² ; (…)²- (…)²<= 0 ; on a une différence de 2 carrés qui se factorise selon : a²-b²= (a-b)(a+b) ; cela donne après simplification comme l’exercice (1) : (x²+7)(x+3)² <= 0 ; les deux facteurs étant des carrés ils sont > = 0 ; en effet x²+7 est une somme de 2 carrés donc toujours positive et (x+3)² est un carré donc positif ou nul pour x=-3 ; cette inéquation admet une solution pour l’égalité : x = -3 et le premier membre n’est jamais < que le deuxième membre. 3. Condition d’existence : les dénominateurs doivent être différents <> 0 car on ne peut diviser par 0 ; donc on a : x<>2 et x<>-1 ; deux fractions égales se transforment en produit des moyens = produit des extrêmes ou en réduisant au même dénominateur on obtient : (2x+1)(x+1) = (x-2)(2x-5) ; en distribuant et en simplifiant on obtient 12x = 9 ; x = 9/12 ou x = ¾ 4. Condition d’existence : les dénominateurs doivent être différents <> 0 car on ne peut diviser par 0 ; donc on a : x<>2 et x<>-1 En réduisant au même dénominateur et en simplifiant on obtient (ici contrairement au précédent on ne peut simplifier le dénominateur puisqu’on n’en connaît pas le signe – s’il est positif l’ordre ne change pas, s’il est négatif < devient >) ; l’inéquation devient : 3(4x-3)/(x-2)(x+1) < 0 ; l’étude du signe sur une droite graduée donne : pour x < -1 ou pour x Є ]3/4,2[ l’inéquation est vérifiée. 5. Les 2 Δ rectangles ABC et MBN étant semblables (angles intérieurs = 2 à 2) les côtés homologues sont proportionnels 2 à 2 (ou Thalès); cela donne a. MN/AC = MB/AB ; AC = 8 ; MB = 6-x ; AB = 6 ; on obtient donc : MN = 8(6-x)/6 ou MN = 8 – 4x/3 (erreur dans votre énoncé) b. Périmètre du rectangle : f(x) = 2(x + (8 – 4x/3)) ; dom f = [0,6] c. Aire du rectangle : base x hauteur : g(x) = x. (8 – 4x/3) ; le graphique est une parabole avec 3 points particuliers : (0,0) (6,0) et avec un maximum pour x = 3 donnant g(3) = 12 cm² d. MP (h(x)) est l’hypoténuse du Δ rectangle PNM en N ; avec Pythagore on obtient : MP² = PN²+MN² ; ce qui donne : h(x) = √(x²+(8-4x/3)²) e. Si on prend des valeurs successives de x de [0,6], on a les couples suivants : (0 ;8) (1 ;6,74) (2 ;5,69) (3 ;5) (4 ;4,807) (5 ;5,17), donc le minimum se situe entre 3 et 4 ; avec quelques approximations et encadrements on obtient un minimum pour (3,85 ; 4,8) ; si on utilise la dérivée première de la fonction on obtient au numérateur de h'(x), 50x – 192 qui s’annule pour x = 192/40 ou x = 3,85 en passant du signe – (à gauche de 3,85) au signe + (à droite de 3,85), la fonction étant donc décroissante jusque 3,85 puis croissante à partir de là, on a donc bien un minimum en x = 3,85