Préavis licenciement trop court et Pôle emploi

Nous avons licencié notre nounou après deux ans d’un travail remarquable en raison de l'entrée en maternelle de notre fille en septembre dernier. Mais nous nous sommes trompés de bonne foi dans le calcul du préavis en y incluant le dernier mois (août) pris en congés payés. Nous aurions donc dû lui notifier son licenciement trois mois avant la rentrée et non deux mois avant (soit fin mai au lieu de fin juin). Après nous avoir fait corriger notre attestation dans un premier temps, Pôle emploi refuse finalement de verser à notre ancienne nounou son premier mois d'indemnisation (septembre) sous prétexte que la fin du contrat est décalée de ce fameux mois manquant. Or il est évident que ce mois manquant est à placer au début du préavis et non à la fin puisque la relation de travail ne pouvait se poursuivre au-delà de la rentrée de notre fille, ce qui était d’ailleurs une des conditions résolutoires stipulées au contrat deux ans auparavant. La conduite de Pôle emploi revient en plus à sanctionner notre ancienne employée d’une erreur commise de bonne foi par son employeur ; en l’espèce, cette erreur ne lui a pas porté préjudice puisque le terme du contrat était connu depuis deux ans et nous la réembauchons prochainement pour notre second enfant… Et heureusement car s’il y avait eu préjudice, ce serait la double peine pour l’ex-salarié (lésé par l’employeur, puis par Pôle emploi) ! Question : Pôle emploi a-t-il le droit de priver un ex-salarié de son premier mois d’indemnisation sous prétexte que le préavis n’a pas commencé assez tôt ?