Etude de fonction y= x.(ln x-1)

La fonction qui à x associe x lnx-x est définie sur l'intervalle ]0. + infni[ pour l'étudier, on calcule la dérivée première : f'(x) = ln(x) +1 -1 = ln(x); c'est la fonction réciproque de la fonction exponentielle et pour tout x dans ]0.. +infni[ cette fonction est négative dans ]0..1] et positive dans ]1 + infni[ => maximum local en x = 1 Pour la recherche d'éventuels points d'inflexion, on a f''(x) = 1/x, donc cette fonction ne s'annule jamais, d'ou on déduit que notre fonction n'admet jamais de points d'inflexion. on passe au tableau de variations x : ]0..1[ f'(x) : négative sens variation f : décroissante de 0 à -1 x : [1..+infni[ f'(x) : positive sens variation f : croissante de -1 => + infini pour les branches , lim (+infnini) f(x)/x = lim + infni (ln(x) - 1)) = + infni => la branche infnie au dessus de la droite Delta : y= x.

De même je voudrais vous éclaircir un point, une fonction qui est paire ou impaire, on doit trouver dans son domaine de définition, une symétrie de centre 0 , on cette fonction n'est même pas définie en 0 ni pour les réels négatifs donc on ne peut pas parler de parité :) pour le signe de f(x) f(x) = xlnx - x x <1 : f(x) négative x>1 : f(x) positive

Mercu beaucoup nguira :-) j avoue que j ai fais pas mal de faute en le faisant , c est la première fois que j apprends cela ... :p c est très gentile de ta part de me répondre ... puis-je encore vous demandé ( si ca vous dérange pas ) une petite explication pour la dérivée première et seconde svp ce serais très gentile de votre part ! Merci pour l aide que vous me fournise ! Amicalement Jérémy

Et éventuellement sur les tangentes :$ je suis assez faible en logarithme et j ai été absent le jour des explications ... Une élève m a expliqué mais j ai pas très bien compris ... :$ merci pour tout et j espere que je n abuse pas trop de votre gentilesse et de votre aide ! Merci pour tous :-)

La dérivée c'est la pente de la droite tangente à la courbe de la fonction à un point quelconque d'une façon générale la dérivée se calcule de la façon suivante ; f'(x0) = lim x=>x0 (f(x) - f(x0))/(x-x0) et cette fonction nous permet de savoir, le sens de variation de la fonction, comme vous le savez ;; une droite de pente positive est croissante, une droite de pente négative est décroissante. et la dérivée c'est à peu près transformer localement la courbe en une droite , et peut être à un degrés plus haut, un polynôme ( formule de Taylor) pour déterminer l'équation de la tangente en un point quelconque d'abscisse x0, et d'ordonnée f(x0) ; on fait delta :y = f'(x0)(x-x0) + f(x0) ps : ne vous inquiétez pas ça ne me dérange pas du tout :)

Et pour la dérivée seconde c'est à peu près pareil : je vais vous expliquer : un point d'inflexion , c'est à peu près un point de symétrie de la courbe; un point où la courbe croît ou décroit le plus rapide, d'ou on constate que c'est un maximum de la fonction dérivée et comme c'est un maximum de la fonction dérivée , donc la fonction dérivée seconde s'annule et- change de signe. je voudrais éclaircir ici un petit point : lorsque la dérivée s'annule , cela ne veut pas nécessairement dire que la fonction à étudier admet un maximum ou un minimum local, mais pour savoir si on a un extremum local , il faut que la fonction dérivée s'annule et change de signe. exemple : f(x) = x² f'(x) = 2x , s'annule et change de signe en 0 => extremum local en 0 le cas de f(x) = x cube => f'(x) = 3x² : s'annule en 0 mais elle n'admet pas d'extremum car f'(x)>0 et ne change pas de signe; mais pour f''(x) = 6x, s'annule en 0 et change de signe => on repère un point d'inflexion.

Merci beaucoup nguira. Voila ce que je vais pouvoir mettre sur ma copie ... ( si ca derange pas , tu pourras corrigé ? ) étude de la fonction y= x. ( ln x-1 ) La fonction est définie par l intervalle ] 0 + infini [ sur lequel elle est strictement croissante => ln x a pour dom f Ro+=domcf=domdf Variation de signe f(x) = xlnx - x x <1 : f(x) négative x>1 : f(x) positive etude de signe x : ]0..1[ f'(x) : négative sens variation f : décroissante de 0 à -1 x : [1..+infni[ f'(x) : positive sens variation f : croissante de -1 => + infini Limite im (+infnini) f(x)/x = lim + infni (ln(x) - 1)) = + infni etude de la dérivée première x ln( x-1 ) = 1/x etude de la derivée seconde x ln (x-1) = -1/x² les tangentes sont t(1 ; 0 ) = y= x-1 t (2 ; 1 ) = y-1= 0.37(x-2) y=0.37-0.05= (0 ; -0.05 ) si il faut corrigé vous pouvez corrigé ou eventuellement ajjouté ... Merci pour tout ce quie vous faites et j aurais eventuellement pas su le faire tout seul !

Vous avez un petit problème à ce que je vois : apparemment f(x) = x(ln(x) -1) pas xln(x-1) bon f''(x) = -1/x pas -1/x² x !0 1! + infini! f'(x) ! - ! + ! sens variation f ! décroissante ! croissante ! les ! : pour tracer le tableau pour le signe de la fonction x !0 1! +infini ! f(x)! - ! + il faut calculer aussi les limites aux bornes du domaine de définition. on aura donc lim x=>0 f(x) = lim x=> 0 xlnx - x = 0 lim x => +infini f(x) = lim x => +infini x(lnx) -1) = +infini

Merci Nguira de m'avoir corrigé et d avoir pris le temps et la patience de m avoir expliqué les erreurs que j ai commis. ps: c est belle et bien x.(ln(x)-1) J espere que je ne vous ai pas trop dérangé et je vous remercie beaucoup cordialement et respectueusement Jérémy