Voici l'énoncé :
on suppose qu'il existe une fonction f dérivable sur ]0;+infini[ telle que f'(1)=1 et que, pour tous a et b strictement positifs, f(ab) = f(a) + f(b). on se propose de chercher des propriètès qu'une telle fonction doit vérifier.
voici les question ou je bloque :
1) déterminer f(1) en faisant appel à des valeurs particulières de a et b ( je pense que a=b mais je trouve pas)
2)déterminer f(1/b) et f(a/b) en fonction de f(a) et f(b) ( je pense -f(b) et f(a)-f(b) d'après des propriètès du collège mais j'arrive pas à rédiger et est-ce que c'est bon ? )
voila merci d'avance pour votre aide
Une fonction telle que l'on puisse remplacer un produit par une somme ou une somme par un produit s'appelle un LOGARITHME. En outre, puisque la dérivée première du logarithme de x en base A = " 1 / (x ln A) " cette dérivée en x = 1 vaut 1 si et seulement si ln A = 1, donc si A = ... un nombre particulier valant 2,71828... que l'on appelle " le nombre e " ; ce logarithme en base e s'appelle " logarithme népérien " (car il a été découvert par le mathématicien écossais " Napier ", que l'on a francisé en " Néper ").
Quant à f(1), il faut et il suffit que " a.b = 1 " ; donc que " a " et " b " soient INVERSES l'un de l'autre ; exemples : si " a " = 2, " b " doit valoir " 1/2 " ; si " a " = 3 , " b " doit valoir " 1/3 " etc.
Enfin, en partant de la formule " f(a X b) = f(a) + f(b) " , pour passer à f(1/b), c'est facile : 1/b = 1 X 1/b ; donc dans la formule, " a " devient ... et " b " devient ... ;
de même pour f(a/b) : a/b = a X 1/b ; donc dans la formule, " a " devient ... et " b " devient ... Je vous laisse terminer.