Montrez que IJK est un triangle équilatéral .

Pour montrer qu'un triangle est équilatéral on peut soit montrer que les 3 angles intérieurs sont égaux (à 60°) ou que les 3 longueurs des côtés sont égales. I et J étant milieux des côtés [AB] et [AC], [IJ] est parallèle à [BC] (corollaire 268 livre III Dalle et De Walle); de même [IK] est parallèle à [AC] et [JK] est parallèle [AB]; partant de là deux possibilités: la première consiste à observer les angles formés par les parallèles et sécantes et qui sont donc des angles alternes internes, des angles correspondants, ..., ou plus simplement des angles à côtés parallèles. On obtient aisément que les 3 angles intérieurs du triangle IJK sont égaux à 60° La seconde consiste à considérer que par exemple (faire le même raisonnement avec les autres) les triangles ABC et AIJ sont semblables (un angle égal A compris entre côtés proportionnels - puisque I et J sont milieux) On a donc la longueur de [IJ] est la moitié de la longueur de [BC] (côtés homologues proportionnels) ou [BC] = 2 [IJ] (simplification d'écriture - excusez moi); On fait de même avec les autres en montrant [AC] = 2 [IK] et [AB] = 2 [JK] Or [AB]=[AC]=[BC] (triangle équilatéral) donc 2 [JK] = 2 [IK] = 2 [IJ] et finalement : [JK] = [IK] = [IJ] cqfd