Les fonctions dérivées.

Remarque préalable : attention à l'orthographe : on doit écrire " tangente " . Cela dit, le principe de l'étude d'une fonction est simple : on a du papier quadrillé, avec 2 axes (X et Y) formant un angle droit et des unités égales, aussi bien en ordonnée qu'en abscisse : c'est ce qu'on appelle une base orthonormée. La fonction y = f(x) représente une courbe plane à tracer. Pour chaque valeur de " x " on calcule une valeur en " y " : on a donc des points (x ; y ) sur le graphique. Par exemple, dans la première équation que vous me donnez, si x = 0, y = - 7 ; donc le point de coordonnées (0 ; - 7) appartient à la fonction ; si x = 1, y = - 9,5 donc on a le point (1 ; - 9,5), etc. Cependant, puisque la fonction a une infinité de points, notre vie ne suffirait pas (en principe) pour la tracer ! On a donc trouvé une TECHNIQUE pour trouver rapidement son allure, dont voici les principales étapes : 1) éliminer les éventuelles valeurs de " x " pour lesquelles " y " est impossible à calculer ; les valeurs restantes s'appelent le DOMAINE DE DÉFINITION de la fonction ; dans les 2 exemples que vous me donnez, il n'y a pas de problème : domaine = ensemble " R " : " x " peut valoir n'importe quel nombre réel ; mais si par exemple il y avait des fractions, il ne faudrait surtout pas que leurs dénominateurs soient nuls, sinon au moins l'un des termes de la fonction risquerait d'être infini ! 2) trouver ses éventuels points d'intersection avec les axes X et Y; 3) trouver les éventuelles asymptotes (verticales, horizontales et obliques) de la fonction ; 4) calculer la dérivée première ; 5) calculer la dérivée seconde. Voyons maintenant quelques détails : pour calculer la dérivée première d'un polynôme, ce n'est pas difficile : c'est à nouveau un polynôme, dont chaque nouveau coefficient vaut le produit de chaque coefficient par son exposant ; et dont chaque exposant vaut une unité de moins que ceux du polynôme initial . Donc dans l'exercice 1, la dérivée première y ' = 5x puissance4 - 12x puissance2 + 1/2 Autre chose importante à comprendre : la notion de PENTE d'une droite, appelée aussi COEFFICIENT ANGULAIRE d'une droite : il s'agit d'un nombre (réel) qui exprime en quelque sorte la " rapidité " avec laquelle une droite monte quand on va de gauche à droite. Quelques exemples (que je vous invite à tracer pour comprendre) : ° droite d'équation " y = 2 " : cette droite est horizontale : donc elle ne monte pas, et ne descend pas ; donc sa pente vaut logiquement zéro. ° droite d'équation " y = x " ou, ce qui revient au même, x - y = 0 : elle monte : donc sa pente est un nombre POSITIF (on va le calculer tout à l'heure) ; ° droite d'équation " 3x + y +5 = 0 " : si vous la tracez, vous verrez qu'elle descend : donc sa pente est NÉGATIVE. D'une manière générale, pour calculer la pente d'une droite (en valeur absolue), on prélève un segment de cette droite, et on construit un triangle rectangle dont les 2 côtés formant l'angle droit sont un segment vertical et un segment horizontal ; et on divise la longueur du segment vertical par la longueur du segment horizontal ; on démontre d'ailleurs qu'une droite d'équation " ax + by + c = 0 " a un coefficient angulaire = - a / b. Donc dans l'équation " y = x ", le coefficient angulaire = 1. Par ailleurs, qu'est-ce que la tangente en un point d'une courbe ? C'est la ligne droite passant par ce point, ainsi qu'en un autre point de cette courbe, mais infiniment voisin de ce point. Et la dérivée première d'une courbe en un point est tout simplement LA PENTE DE CETTE TANGENTE ! Et la fonction dérivée première est la courbe qui généralise toutes les pentes (des tangentes) que l'on obtient si l'on remplace les " x " de cette dérivée par différentes valeurs. Quant à la notion de limite, prenons un exemple simple : soit la fraction (x - 2).(x + 3)/(x - 2). Il est évident que si " x " = 2, on obtient " 0 / 0 " ce qui est en quelque sorte insensé. Mais prenons un nombre très proche de 2, par exemple " 2,1 " et calculons cette fraction : on obtient (0,1) . (5,1) / (0,1) = 5,1 ; prenons un autre nombre très proche de 2, par exemple " 1,9 " et calculons cette fraction : on obtient (- 0,1).(4,9) / (- 0,1) donc 4,9. Si l'on prend des valeurs de plus en plus proches de 2, on va constater que l'on obtient un résultat DE PLUS EN PLUS PROCHE DE " 5 " ; donc ici on dira que la limite de cette fraction pour " x " valant " 2 " est " 5 " ; il existe bien sûr une technique très simple pour calculer cette limite : simplifions la fraction par " x - 2 " : il nous reste " x + 3 " : il n'y a plus qu' à remplacer " x " par " 2 " et l'on obtient en effet 2 + 3 = 5. Enfin, pour trouver l'équation d'une droite dont on connaît la pente " m " et un point (x1 ; y1) par lequel elle passe, on a la formule : " m.(x - x1) = y - y1 " . (J'espère avoir été clair ; sinon, n'hésitez pas à me poser d'autres questions)