Problème

La réponse est: "Oui, il est possible de tendre la ficelle de manière à ce que ABC soit rectangle en C". Il y a même 4 positions de C formant autant de triangles rectangles. Il faudrait connaître la partie du cours que vous étudiez actuellement pour savoir précisément ce que l'on attend que vous démontriez: - la proposition est vérifiée ou - déterminer les positions de C vérifiant la proposition. Démontrons que la proposition est vérifiée (c'est-à-dire qu'il est possible de tendre la ficelle pour obtenir un triangle rectangle). L'ensemble des positions que peut prendre C forme une ellipse de foyers A et B. On sait par ailleurs qu'un triangle inscrit dans un cercle, et dont un côté est le diamètre du cercle est un triangle rectangle (et l'hypoténuse se confond donc avec le diamètre). Appelons "O" le centre de AB. O est le centre du cercle de rayon r=OA=OB=AB/2. O est aussi le centre de l'ellipse de foyers A et B. Montrer qu'il existe une position de C pour laquelle le triangle ABC est rectangle en C revient à chercher si l'ellipse et le cercle centrés sur O "se coupent". Pour cela, il suffit de montrer que le demi petit axe "b" de l'ellipse est plus petit que le rayon "r" du cercle. Il faut donc calculer b. Soit L la longueur de la ficelle=89cm. Pythagore: b²+r²=(L/2)², donc b²=(L/2)²-(AB/2)²=(89/2)²-(65/2)²=924, donc b=racine(924) soit environ 30.4cm. r=AB/2=65/2=32.5cm b<r donc le cercle et l'ellipse se coupent (en 4 points). Il y a 4 positions possibles pour C telles que le triangle ABC soit rectangle en C. Si votre but est de calculer les 4 coordonnées de C vérifiant la proposition, vous pouvez utiliser la même condition (çàd intersection de l'ellipse et du cercle) et l'appliquer à un système d'équations: l'équation de l'ellipse: x²/a²+y²/b²=1 et celle du cercle: x²+y²=r