Dérivation – Comportement asymptotique

Bonjour, Il est difficile de vous donner des cours d'analyse par ordinateurs interposés sans vous connaître, car on ne sait pas exactement où vous en êtes dans vos connaissances mathématiques, et en outre c'est un peu long à expliquer. Rappelons d'abord qu'un repère orthonormé est tout simplement analogue à du papier quadrillé : les axes X et Y forment entre eux un angle de 90 degrés, et les unités i et j sont de même longueur. Cela dit, le principe d'une fonction y = f(x) est simple : on donne à "x" à peu près n'importe quelle valeur dans l'expression, ici (x2 + 7x + 10)/2(x + 1), et "y" est la valeur que l'on obtient respectivement pour chaque valeur de "x". Il reste à reporter les couples (x ; y) sur un graphe. Pour les définitions des asymptotes, il y a un site intéressant sur Wikipédia : "Asymptote" sur "fr.wikipedia.org/wiki/Asymptote". Pour la question 1) les bornes sont évidemment de ] - l'infini à - 1[ et de ] - 1 à + l'infini [ . Il y a une asymptote verticale d'équation x = - 1 (puisque pour x = - 1, le dénominateur est nul et donc f(x) tend vers l'infini). Pour la question 2a), effectivement (x + 6)/2 + 2/x + 1 est une autre façon d'écrire cette fonction : pour la retrouver, il suffit de tout réduire au même dénominateur "2(x + 1)" : le numérateur vaut alors (x + 6)(x + 1) + 4 ; en distribuant, on trouve x2 + x + 6x + 6 + 4 c-à-d x2 + 7x + 10 de l'énoncé (x2 c'est x au carré, mais avec mon clavier, je ne sais pas comment surélever les chiffres). Pour le calcul de la dérivée première d'une fraction u/v, on a la formule (u/v)' = (u'v - uv')/v2 (v2 , c'est v au carré). Ici, u' = 2x + 7 et v' = 2. Pour les valeurs de "x" où la dérivée première est nulle, la tangente à la fonction est horizontale : on a soit un maximum, soit un minimum, soit un palier. Celles où cette dérivée est négative indiquent une décroissance de la fonction quand on va vers des "x" croissant" ; celles où cette dérivée est positive indiquent une croissance de la fonction pour des " x" croissant. On peut également calculer la dérivée seconde (= la dérivée première de la dérivée première) : les valeurs de "x" pour lesquelles cette dérivée seconde s'annulent sont des points d'inflexion. Celles pour lesquelles cette dérivée seconde est négative indiquent une concavité de la fonction f(x) tournée vers le bas ; et celles pour lesquelles cette dérivée seconde est positive indiquent une concavité de la fonction f(x) tournée vers le haut. Pour la question 4), on calcule la dérivée première de la fonction, dans laquelle on remplace ensuite "x" par "3" : on obtient alors le coefficient angulaire, c'est-à-dire la pente de cette tangente. Appelons-la "m". Pour avoir l'équation complète de la tangente au point d'abscisse X et d'ordonnée Y, on a la formule "m(x - X) = y - Y". Ici, "X" = 3 et "Y" est bien sûr la valeur obtenue en remplaçant "x" par 3 dans f(x) c-à-d (3.3 +7.3 + 10)/2(3 + 1) donc Y = 5. (Quant à "m", je n'ai pas le courage de le calculer). Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont même pente.