Barycentres et vecteurs

Tracez un triangle ABG quelconque. Partagez la longueur AG en 3 (chaque tronçon mesure AG/3="un tiers de AG"). Tracez la droite (AG) et placez y le point C, à l'opposé de A par rapport à G et à une distance G de 2AG/3="deux tiers de AG". Vous avez ainsi construit C tel que: GC=-(2/3)GA (en vecteurs) Autrement dit: C est sur la droite AG, mais en sens opposé par rapport au sens du vecteur GA puisqu'il y a un signe négatif et situé à une distance des 2/3 de la longueur AG. Procédez de même pour placer le point D, en divisant cette fois-ci la longueur BG en 4. Vous pouvez placer D sur la droite AG, en sens opposé par rapport au sens du vecteur GB, et situé à une distance du quart de la longueur GB. C'est ce que vous permettent de faire les deux égalités vectorielles qui vous sont données dans l'énoncé. Aidez-vous de ce graphique pour en déduire les relations suivantes: NB: je ne l'indique pas à chaque fois mais toutes les relations qui suivent sont concernent des vecteurs (et 0 est le vecteur nul). 1. (2/5)GA+(3/5)GC=0 que l'on peut aussi écrire: 2GA+3GC=0 2. (1/5)GB+(4/5)GD=0, que l'on peut écrire: GB+4GD=0 3. Montrez que pour tout M: 2MA+3MC-(MB+4MD)=0 Puisque vous avez établies des égalités faisant toujours apparaître G aux questions 1 et 2, introduisez G dans l'égalité, vous obtenez: 2MA+3MC-(MB+4MD)= 2MG+2GA+3MG+3GC-(MG+GB+4MG+4GD)= que vous pouvez simplifier puisque vous avez établi aux questions 1 et 2 que: 2GA+3GC=0 et GB+4GD=0, et il reste: 2MG+3MG-(MG+4MG)= 5MG-5MG=0 4. Pour tout point M du plan, on a: 2MA+3MC-(MB+4MD)=0 D est un point du plan, donc si l'on suppose M confondu avec D, la relation reste vraie (et on remplace M par D dans l'égalité): 2DA+3DC-(DB+4DD)=0 et comme DD=0, la relation devient: 2DA-DB+3DC=0 Ce qui signifie que D est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs: 2, -1 et 3.