593 672
questions
1 106 657
réponses
1 091 467
membres
M'inscrire Me connecter
Inscription gratuite !

Calculer l'aire du triangle ABC

Question de Meghann L
Le 28/10/2009 à 10h24
[ ! ]
Soit ABC isocèle en A tel que AC=5 et BC=6. Un point N se déplace sur le segment [AB] en restant différent des points A et B. M est le point d'intersection de la droite (AC) et de la parallèle à (BC) passant par N. On désigne par Q le point du segment [BC] tel que le quadrilatère NMQB soit un parallélogramme.
On pose AN= x, avec 0< x <5.
On note f(x) l'aire du parallélogramme NMQB.

1) Calculer l'aire du triangle ABC.
2) Démontrer que MN = (6/5)x En déduire l'aire du triangle AMN.
3) Démontrer que QC = (6/4) multiplier par (5-x) En déduire l'aire du triangle CMQ.
4) Démontrer que f(x) = 12-(12/25) multiplier par ((5-x)au carré )- (12/25)multiplier par X au carré.
5) Démontrer que f(x) s'écrit aussi: f(x) = (12/25) multiplier par ( -2xau carré + 10x)
6) Calculer f(5/2) et démontrer que: f(x)- f(5/2) = 24/25 multiplier par (( x - 5/2) au carré)
7) Quel est le signe de f(x)- f(5/2) selon les valeurs de x ? En déduire le maximum de f sur l'intervalle [0;5] ?
Répondre
3 réponses pour « 
Calculer l'aire du triangle ABC
 »
Réponse de djomonin
Le 04/04/2010 à 15h43
[ ! ]
Note : une bonne figure permet de résoudre plus facilement
AC = AB = 5 et BC = 6 ; AN = x ; MN étant parallèle à BC on a 2 Δ ABC et ANM isocèles et semblables car les angles intérieurs sont isométriques 2 à 2, dès lors AN = AM = x et BN = QM = CM
Soit AH la hauteur de ABC issue de A et coupant BC en H et NM en R (Note : dans un Δ triangle isocèle la hauteur issue du sommet A est aussi médiatrice, médiane de [BC]
Aire de ABC : 2 méthodes suivant le niveau des connaissances
1. A = base. hauteur/2 ; A= BC.AH/2 ; déterminons AH côté de l’angle droit du Δ rectangle AHC avec la relation de Pythagore ; par ce qui précède HC est la moitié de BC et donc HC = 3 ; AH² + HC² = AC² ; AH² = AC² - HC² ; AH² = 5² - 3² ; AH² = 16 ; AH = 4 ; Aire= BC.AH/2 ; A1 = 6.4/2 ; A1 = 12 (m² selon les unités des côtés en m)
2. Méthode 2 : l’aire d’un triangle quelconque est donné en fonction de ses côtés a, b, c et du demi – périmètre p par la relation A = √ (p.(p-a).(p-b).(p-c)) ; p = 5+5+6/2 ; p = 8 ; p-a = 8-6 =2 ; p-b = 8-5=3 ; p-c = 8-5=3 ; donc A= √8.2.3.3 = √144 = 12
Les 2 Δ ABC et ANM étant semblables les côtés homologues sont proportionnels 2 à 2 :
MN/BC = AN/AB ; MN = AN.BC/AB ; MN = x.6/5
De même AR/AH = AN/AB; AR = AN.AH/AB; AR = x.4/5
Aire de ANM: A2 = MN.AR/2; A2 = ((x.6/5).( x.4/5))/2 ; A2 = 12 x²/25
Pour le Δ QMC qui est aussi isocèle en M (Δ semblables – même justification que ci-dessus) on a : QC = BC – BQ ; or BQ = NM (construction du parallélogramme BNMQ), donc QC = BC – NM ; QC = 6 - x.6/5 ou QC = 6(5-x)/5 ; et alors SC = QC/2 et SC = 3(5-x)/5 ; Soit MS la hauteur de QMC issue de M, S partageant [QC] en 2 parties = ; QM = BN = CM ; MC = 5-x ; on trouve MS à l’aide Pythagore dans le Δ rectangle SMC ; SC²+SM² = MC² ; MS²=MC²-SC² ; MS²=(5-x)²-( 3(5-x)/5)² ; après développement on a MS² = 16(5-x)²/25, ce qui donne : MS=4(5-x)/5. Note on pouvait aussi trouver MS de la manière suivante : MS=RH et RH = AH-AR ; MS=4-4x/5 ; MS= 4(5-x)/5
Aire de QMC = QC.MS/2 ; A3 = (6(5-x)/5).(4(5-x)/5)/2 ; cela donne A3 = 12(5-x) ²/25
Aire du parallélogramme : deux méthodes
1. soit base. hauteur et donc BQ.RH ou MN.RH, ce qui donne f(x)= (6x/5).(4(5-x)/5) ; f(x) = 24x(5-x)/25 (*)
2. ou aire du parallélogramme = Aire Δ ABC – Aire Δ ANM – Aire Δ MQC, ce qui donne : f(x) = 12 – 12x²/25 – 12(5-x)²/25
3. les autres formes se trouvent aisément en développant et/ou en factorisant f(x)
On calcule f(5/2) en utilisant une des formes de f(x) par exemple la première (*) : f(5/2) = ((24.5/2)(5-5/2))/25 : f(x) = 6 (m²) ce qui est la moitié de l’aire du Δ ABC
On calcule aisément f(x) – f(5/2) = (24x(5-x)/25) – 6 en développant et en regroupant on a f(x) – f(5/2) = -24(x-5/2)²/25 (remarque : il y a une erreur dans votre énoncé)
On voit aisément que cette expression est négative dans l’intervalle [0,5] (en effet -24 négatif et (x-5/2)² positif) et nulle pour x = 5/2 ; cette différence est donc maximale pour x = 5/2 ; par conséquent f(x) est maximale quand f(x) = f(5/2) ce qui a lieu pour x = 5/2
Si on utilise les dérivées on obtient le même résultat ; f(x) = 24x(5-x)/25 ; f’(x) = 24(5-2x)/25 qui s’annule en x = 5/2 et f’(x) est positive sur [0,5/2[, nulle en x = 5/2 et négative sur ]5/2,5] par conséquent on a un maximum en x = 5/2
Répondre
Réponse anonyme
Le 25/01/2012 à 15h33
[ ! ]
Ifd-ygjgcv hgtdc hgcb:,gjdtul(èftvgg(t-yfvghb nvhhhh bn hgyt-(yvghb nvghftyer'(vgb fgrfgvbgrtfgvbn vghhhhbhfcfxdesxdfcxdsffn,jkuhikj;:,kjiuk,; jkihuujkn,;hukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkhuuuuu,nhjkyu-hj,bnjyuuuuuughbn hgtyghn bghtyvghbbbbbbbfggggggggggggcvbhjkjuiè_ukj;,jkuiè_ukj;,jkuièkj,;njkuièkj,n;jkuièjkh,n;jkuiè_jk,;njkuiè_kj,;kuièkj;,njkuin,;jkuii;,li_oçkl;,io_çkl,;io_ççççççççççççççjuk,;ui;,uièkhjjijn,hukbnvgggggggggggggggggggggfffffffffffffffffcvdrfcv dr
Référence(s) :
,j:hbg;cutldo
Répondre
Réponse anonyme
Le 01/12/2013 à 14h07
[ ! ]
Je ne comprends pas d'où vient le "AR" dans la 2° question ? Merci de me répondre bientot
Répondre
Publiez votre réponse
Règles de bonne conduite :
  • Du respect et de la politesse envers les autres
  • Un style rédactionnel clair, une orthographe soignée
  • Le langage SMS n'est pas autorisé
  • Une réponse construite, détaillée et argumentée
  • Pas de propos insultant, diffamatoire, ni xénophobe
  • Pas de publicité, de spam, ni de contenu illicite
  • Pas d'information personnelle divulguée
  • Pas d'échange d'email, ni de coordonnées personnelles
Réponses sur le thème « 
Calculer l'aire du triangle ABC
 »
Les derniers messages publiés
Posez votre question maintenant !
Titre de votre question :
Votre question en détails :