Calculer l'aire du triangle ABC

Note : une bonne figure permet de résoudre plus facilement AC = AB = 5 et BC = 6 ; AN = x ; MN étant parallèle à BC on a 2 Δ ABC et ANM isocèles et semblables car les angles intérieurs sont isométriques 2 à 2, dès lors AN = AM = x et BN = QM = CM Soit AH la hauteur de ABC issue de A et coupant BC en H et NM en R (Note : dans un Δ triangle isocèle la hauteur issue du sommet A est aussi médiatrice, médiane de [BC] Aire de ABC : 2 méthodes suivant le niveau des connaissances 1. A = base. hauteur/2 ; A= BC.AH/2 ; déterminons AH côté de l’angle droit du Δ rectangle AHC avec la relation de Pythagore ; par ce qui précède HC est la moitié de BC et donc HC = 3 ; AH² + HC² = AC² ; AH² = AC² - HC² ; AH² = 5² - 3² ; AH² = 16 ; AH = 4 ; Aire= BC.AH/2 ; A1 = 6.4/2 ; A1 = 12 (m² selon les unités des côtés en m) 2. Méthode 2 : l’aire d’un triangle quelconque est donné en fonction de ses côtés a, b, c et du demi – périmètre p par la relation A = √ (p.(p-a).(p-b).(p-c)) ; p = 5+5+6/2 ; p = 8 ; p-a = 8-6 =2 ; p-b = 8-5=3 ; p-c = 8-5=3 ; donc A= √8.2.3.3 = √144 = 12 Les 2 Δ ABC et ANM étant semblables les côtés homologues sont proportionnels 2 à 2 : MN/BC = AN/AB ; MN = AN.BC/AB ; MN = x.6/5 De même AR/AH = AN/AB; AR = AN.AH/AB; AR = x.4/5 Aire de ANM: A2 = MN.AR/2; A2 = ((x.6/5).( x.4/5))/2 ; A2 = 12 x²/25 Pour le Δ QMC qui est aussi isocèle en M (Δ semblables – même justification que ci-dessus) on a : QC = BC – BQ ; or BQ = NM (construction du parallélogramme BNMQ), donc QC = BC – NM ; QC = 6 - x.6/5 ou QC = 6(5-x)/5 ; et alors SC = QC/2 et SC = 3(5-x)/5 ; Soit MS la hauteur de QMC issue de M, S partageant [QC] en 2 parties = ; QM = BN = CM ; MC = 5-x ; on trouve MS à l’aide Pythagore dans le Δ rectangle SMC ; SC²+SM² = MC² ; MS²=MC²-SC² ; MS²=(5-x)²-( 3(5-x)/5)² ; après développement on a MS² = 16(5-x)²/25, ce qui donne : MS=4(5-x)/5. Note on pouvait aussi trouver MS de la manière suivante : MS=RH et RH = AH-AR ; MS=4-4x/5 ; MS= 4(5-x)/5 Aire de QMC = QC.MS/2 ; A3 = (6(5-x)/5).(4(5-x)/5)/2 ; cela donne A3 = 12(5-x) ²/25 Aire du parallélogramme : deux méthodes 1. soit base. hauteur et donc BQ.RH ou MN.RH, ce qui donne f(x)= (6x/5).(4(5-x)/5) ; f(x) = 24x(5-x)/25 (*) 2. ou aire du parallélogramme = Aire Δ ABC – Aire Δ ANM – Aire Δ MQC, ce qui donne : f(x) = 12 – 12x²/25 – 12(5-x)²/25 3. les autres formes se trouvent aisément en développant et/ou en factorisant f(x) On calcule f(5/2) en utilisant une des formes de f(x) par exemple la première (*) : f(5/2) = ((24.5/2)(5-5/2))/25 : f(x) = 6 (m²) ce qui est la moitié de l’aire du Δ ABC On calcule aisément f(x) – f(5/2) = (24x(5-x)/25) – 6 en développant et en regroupant on a f(x) – f(5/2) = -24(x-5/2)²/25 (remarque : il y a une erreur dans votre énoncé) On voit aisément que cette expression est négative dans l’intervalle [0,5] (en effet -24 négatif et (x-5/2)² positif) et nulle pour x = 5/2 ; cette différence est donc maximale pour x = 5/2 ; par conséquent f(x) est maximale quand f(x) = f(5/2) ce qui a lieu pour x = 5/2 Si on utilise les dérivées on obtient le même résultat ; f(x) = 24x(5-x)/25 ; f’(x) = 24(5-2x)/25 qui s’annule en x = 5/2 et f’(x) est positive sur [0,5/2[, nulle en x = 5/2 et négative sur ]5/2,5] par conséquent on a un maximum en x = 5/2

Ifd-ygjgcv hgtdc hgcb:,gjdtul(èftvgg(t-yfvghb nvhhhh bn hgyt-(yvghb nvghftyer'(vgb fgrfgvbgrtfgvbn vghhhhbhfcfxdesxdfcxdsffn,jkuhikj;:,kjiuk,; jkihuujkn,;hukkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkhuuuuu,nhjkyu-hj,bnjyuuuuuughbn hgtyghn bghtyvghbbbbbbbfggggggggggggcvbhjkjuiè_ukj;,jkuiè_ukj;,jkuièkj,;njkuièkj,n;jkuièjkh,n;jkuiè_jk,;njkuiè_kj,;kuièkj;,njkuin,;jkuii;,li_oçkl;,io_çkl,;io_ççççççççççççççjuk,;ui;,uièkhjjijn,hukbnvgggggggggggggggggggggfffffffffffffffffcvdrfcv dr

Je ne comprends pas d'où vient le "AR" dans la 2° question ? Merci de me répondre bientot