Refus de louer par un propriétaire après signature du bail

Une personne, que je pensais être une amie, m'a proposé de louer son appartement meublé à mon fils. J'ai voulu faire les choses dans les règles et ai proposé que nous établissions un bail. Je m'en suis procuré un sur internet et il a été signé. Il était convenu d'un mois de loyer, un mois de caution, et j'avais proposé sachant mon "amie" en légère difficulté de lui avancer un mois de loyer supplémentaire (soit 2 mois de loyer et un mois de caution) pour l'arranger... Le règlement de la totalité devait se faire le jour de la remise des clés(1er mai). A plusieurs reprises elle est revenue sur ce qui avait été établi, elle m'a demandé si je pouvais avancer un mois supplémentaire (sic) je n'ai pas accepté, elle m'a demandé si je pouvais lui prêter le montant des frais d'agence qu'elle devait régler pour la location d'un logement qu'elle prenait dans un autre département, je n'ai pas accepté, elle a ensuite voulu que mon fils verse 2 mois de caution ( le logement est très sommairement meublé pas de télé, machine à laver en panne, clim hors d'usage, nous vivons en Martinique) et d'autres exigences encore auxquelles nous avons répondu par la négative. Aujourd'hui, une semaine avant l'entrée dans les lieux, elle nous annonce qu'elle a vidé l'appartement et qu'elle va le louer à quelqu'un d'autre. Je vais demain aller porter l'affaire à la gendarmerie. Un bail sous seing privé, signé des deux parties est bien aussi valable devant les instances judiciaires qu'un bail établi en agence ou chez un notaire ? Merci d'avance de votre réponse