Dm droite d'Euler urgent!

Les notations qui suivent représentent des vecteurs, sauf les segments notés [xy] et les droites notées (xy). 1°a) AH=AO+OH et l'on a OH=OA+OB+OC, donc AH=AO+OA+OB+OC=OB+OC=OA'+A'B+OA'+A'C Comme A' est le milieu de [BC], A'B+A'C=0 Finalement, AH=2OA' O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC: O appartient à la médiatrice passant par A', donc (OA') perpendiculaire à (BC). On a démontré que AH=2OA' donc (AH)//(OA'). De ces résultats on déduit que (BC) est perpendiculaire à (AH). H appartient à la droite issue du sommet A et perpendiculaire à (BC) donc H est un point de la hauteur issue de A. b) De même que vous avez démontré que AH=2OA', utilisez BH=BO+OH et OH=OA+OB+OC pour démonter que BH=2OB', et démontrez de la même façon que CH=2OC'. En suivant le raisonnement suivi en a), vous montrez que H appartient à la droite issue de chaque sommet B et C et perpendiculaire au côté opposé. Conclusion: H intersection des trois hauteurs est l'orthocentre du triangle. 2° Calcul sur le vecteurs: OH=OA+OB+OC=OG+GA+OG+GB+OG+GC=3OG+GA+GB+GC Or G étant le centre de gravité (ou isobarycentre) du triangle ABC, le relation vectorielle GA+GB+GC=0 est toujours vérifiée. Finalement, on obtient bien: OH=3OG. D'après cette relation, l'alignement des points O, G et H est évident.