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On a dans le quadrilatère EBFD, EB = DF et [EB] // [DF] car E le milieu de [AB] et F celui de [CD] et ABCD est un parallélogramme. Or si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés parallèles et de même longueur, alors il s'agit d'un parallélogramme. Donc EBFD est un parallélogramme. D'après les propriétés d'un parallélogramme, (DE) est parallèle à (BF). De plus, toujours d'après les propriétés d'un parallélogramme les diagonales [EF] et [BD] se coupent en leur milieu. Or on sait que le milieu de [DB] est le point O, donc les diagonales [EF] et [DB] se coupent en O. D'où O est le milieu de [EF]. Eatnt donné que (AC) passent par O car c'est une diagonale de ABCD, la droite (AC) est donc une médiatrice du triangle ABD. La droite (DE) coupe [AB] en E, qui est le milieu de [AB], donc (DE) est aussi une médiatrice du triangle ABD. Or les médianes d'un triangle se coupent en point qui représente le centre de gravité du triangle. Donc L est le centre de gravité du triangle ABD. On en deduit que OL = 1/3 OA