F est la fonction définie sur R - (2/3) par f(x) =ax²+bx+c/2-3x où a, b et c sont des réels.
1) Calculer f '(x).
2) Traduire chacun des renseignements suivants :
*La courbe C passe de f passe par le point A (1;2)
*La tangente à C au point A est parallèle à la droite d'équation y=3-15x
*C admet au point d'abscisse 2 une tangente parallèle à l'axe des abscisses
3) En déduire les valeurs de a, b et c. (Résoudre par substitution le système d'équations obtenu)
1) f '(x) = 2ax+b-3
2)
*C passe par le point A :
f(1) = 2 = a+b+c/2-3
*La tangente à C au point A est parallèle à la droite d'équation y=3-15x
celà signifie que f '(1) = 3 = 2a+b-3 car si la droite y=3-15x est la tangente à C, le coefficient directeur de cette droite qui est égale à 3, doit être égale à f '(1).
* C admet au point d'abscisse 2 une tangente parallèle à l'axe des abscisses .
Cette tangente ( que j'appelle G(x) )est donc de la forme y = dx (car parrallèle à l'axe des abssisses)
Même chose que précédemment :
f ' (2) = d (coefficient directeur de la droite) = 4a+b-3
donc y = (4a+b-3) x
G(2) = f(2)
2(4a+b-3) = 4a+2b+c/2-6
3) on btient donc le système suivant :
a+b+c/2-3 = 2
2a+b-3 = 3
2(4a+b-3) = 4a+2b+c/2-6
Après regroupement et simplification :
a+b+c/2 =5
2a+b=6
4a-c/2 = 0
a+b+c/2 = 5
b = 6-2a
a = c/8
a= -1/3
b=20/3
c=-8/3